Logika Matematika

Logika adalah suatu metode atau teknik yang digunakan untuk meneliti ketepatan penalaran. Ketepatan penalaran adalah kemampuan untuk menarik konklusi (kesimpulan) yang tepat dari bukti-bukti yang ada. Penalaran adalah suatu bentuk pemikiran. Secara umum logika dibedakan menjadi logika deduktif dan logika induktif.

Logika deduktif menelaah tentang bentuk atau pola dari prinsip-prinsip penarikan kesimpulan yang sah. Logika deduktif juga disebut logika formal, karena yang dibicarakan hanyalah bentuk dari penarikan kesimpulan yang sah terlepas dari isi yang dibicarakan.

Sedangkan logika induktif membahas tentang prinsip-prinsip penarikan kesimpulan yang sah yang bersifat umum berdasarkan hal-hal yang bersifat khusus. Logika induktif juga disebut logika material karena berusaha menemukan prinsip penalaran yang tergantung kesesuaiannya dengan kenyataan.

A.     PROPOSISI (PERNYATAAN)

Proposisi (penyataan) adalah kalimat yang mempunyai nilai benar (true) atau salah (false) tetapi tidak sekaligus benar dan salah, dan pernyataan itu disebut kalimat tertutup.

      Contoh 1

a.       7 adalah bilangan prima (benar)

b.      10 habis dibagi 4 (salah)

c.       Soekarno adalah Presiden Indonesia pertama

d.      8 + 2 = 10

e.       Kemarin hari hujan

f.       Suhu dipermukaan laut Kaspia adalah 21 derajar Celcius

g.      Kehidupan nyata ada di planet bumi

B.     KALIMAT TERBUKA

Kalimat terbuka adalah kalimat matematika yang tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya yang memuat variabel (peubah), dan tergantung pada nilai pengganti variabelnya.

           Contoh 2

1.   x – 7 = 3       

Jika x = 10 maka bernilai benar, sedangkan jika x ≠ 10, maka bernilai salah.

2. Dia adalah mahasiswa teladan

Kalimat terbuka dia mahasiswa teladan, dia diganti dengan Arnum menjadi pernyataan Arnum mahasiswa teladan. Jika dia diganti dengan batu maka menjadi batu mahasiswa teladan, dan itu bukan pernyataan.

C.      LAMBANG (OPERATOR) PROPOSIONAL

Dalam logika matematika, ada beberapa lambang-lambang (operator) proposisional yang digunakan didalam pengoperasiannya. Adapun lambang- lambang tersebut adalah:

No. Urut	Operator		Arti dalam Bahasa Sehari-hari
	Nama	Lambang
1.	Negasi	Ø	Tidak, bukan
2.	Konjungsi	Ù	Dan
3.	Disjungi	Ú	Atau
4.	Implikasi	®	Jika … maka …
5.	Biimplikasi	«	Jika dan hanya jika … maka …

C.  NILAI DAN TABEL KEBENARAN

                     1.   Negasi

Suatu pernyataan adalah pernyataan Øp  yang  bernilai  benar  jika bernilai salah dan bernilai salah jika bernilai benar. Nilai kebenaran konjungsi disajikan dengan tabel kebenaran dibawah ini.

2.  Konjungsi

Merupakan pernyataan majemuk dengan kata penghubung “dan”. Dua pernyataan p dan q yang dinyatakan dalam bentuk p ^ q  isebut konjungsi dan dibaca dan . Nilai kebenaran konjungsi disajikan dengan tabel kebenaran dibawah ini.

  3.   Disjungsi

Merupakan pernyataan majemuk dengan kata penghubung “atau”. Dua pernyataan p dan q disebut  disjungsi  dan dibaca atau .

Nilai kebenaran disjungsi disajikan dengan tabel kebenaran dibawah ini.

   4.   Implikasi

Dua pernyataan  dan  yang  dinyatakan  dalam  bentuk  kalimat  “jika maka ” disebut implikasi / kondisional / pernyataan bersyarat.

Nilai kebenaran implikasi disajikan dengan tabel kebenaran dibawah ini.

     5.   Biimplikasi

Biimplikasi adalah pernyataan p dan q , yaitu p q bernilai benar jika p dan q

mempunyai nilai kebenaran yang sama.

Nilai kebenaran biimplikasi disajikan dengan tabel kebenaran dibawah ini.