Himpunan

A.     PENGERTIAN HIMPUNAN

Dalam matematika konsep himpunan termasuk konsep yang tidak didefinisikan (konsep dasar). Konsep himpunan mendasari hampir semua cabang matematika. Perkataan himpunan digunakan di dalam matematika untuk menyatakan kumpulan benda-benda atau objek-objek yang didefinisikan dengan jelas. lstilah didefinisikan dengan jelas dimaksudkan agar orang dapat menentukan apakah suatu benda merupakan anggota himpunan yang dimaksud tadi atau tidak. Benda-benda atau objek-objek yang termasuk dalam sebuah himpunan disebut anggota atau elemen himpunan tersebut.

            Contoh 1

Kumpulan yang bukan merupakan himpunan

a.            Kumpulan makanan lezat

b.           Kumpulan batu-batu besar

c.            Kumpulan lukisan indah

Ketiga contoh kumpulan di atas bukan merupakan himpunan sebab anggota- anggotanya tidak didefinisikan dengan jelas.

            Contoh 2

Kumpulan yang merupakan himpunan

a.            Kumpulan negara-negara Asean

b.           Kumpulan sungai-sungai di Indonesia

c.            Kumpulan bilangan asli genap

d.           Penduduk Sumatera Utara

     B.  Himpunan Bilangan-bilangan

a.  Bilangan Asli

Bilangan-bilangan 1,2,3,4,5,... disebut bilangan asli. Himpunan semua bilangan asli disebut himpunan bilangan asli dan ditulis N. Jadi N ={1,2,3,4,...}.

b.  Bilangan Cacah

Bilangan-bilangan 0,1,2,3,4,… disebut bilangan cacah. Himpunan semua bilangan cacah disebut himpunan bilangan cacah dan ditulis C. Jadi C = {0,1,2,3,4,...}. Jelas N (bilangan asli) C (bilangan cacah),    C-N ={0}.

c.  Bilangan Bulat

Bilangan-bilangan 0,-1,1,-2,2,-3,3,... disebut bilangan bulat. Himpunan semua bilangan bulat disebut himpunan bilangan bulat dan ditulis Z . Jadi Z = {...,-1,1,-2,2,-3,3,...}.

d.  Bilangan genap positif

Bilangan genap adalah suatu bilangan yang habis dibagi dua. Misalkan n bilangan bulat, maka 2n adalah bilangan genap. Dengan demikian, 0 termasuk bilangan genap.

Contoh himpunan bilangan genap positif :

G_n = {0, 2, 4, 6, ... }

e.  Bilangan ganjil positif

Bilangan ganjil adalah suatu bilangan yang jika dibagi dua sisanya adalah 1. Misalkan n bilangan bulat, maka 2n+1 adalah bilangan ganjil.

Contoh himpunan bilangan ganjil positif :

G = {1, 3, 5, 7,...}

f.    Bilangan prima

Bilangan prima adalah "bilangan lebih besar dari 1 yang hanya dapat dibagi oleh dua bilangan berbeda, yakni bilangan itu sendiri dan 1". Maka bilangan prima tidak dapat difaktorisasi menjadi bilangan lain. Contohnya 2 hanya dapat dibagi oleh 2 dan 1. 2 hanya dapat difaktorkan menjadi 2 dan 1 (2 = 2 × 1).

Contoh himpunan bilangan prima :

P = {2, 3, 5, 7,...}

g.  Bilangan komposit

Bilangan komposit adalah "bilangan asli lebih besar dari 1 yang bukan merupakan bilangan prima". Bilangan komposit dapat dinyatakan sebagai faktorisasi bilangan bulat, atau hasil perkalian dua bilangan prima atau lebih.

Contoh himpunan bilangan komposit :

K = {4, 6, ,8 ,9, ... }

C. CARA MENYATAKAN HIMPUNAN DAN KEANGGOTAANYA

Seperti telah disebutkan di atas himpunan diberi nama atau dinyatakan dengan huruf kapital. Sedangkan anggotanya dinyatakan dengan huruf kecil. Anggota himpunan ditulis di antara kurung kurawal, anggota satu dengan yang lainya dipisahkan dengan tanda koma. Dengan kata lain dituliskan dengan cara pendaftaran (roster method). 

           Dengan Cara Pendaftaran (Roster Method)

Cara menyatakan himpunan dengan menuliskan semua anggotanya selain disebut pendaftaran juga disebut cara tabulasi. Objek yang tidak didaftar berarti objek bukan anggota himpunan tersebut. Apabila anggota himpunan tersebut tidak banyak, semua anggotanya dapat ditulis. Namun, bila himpunan itu mempunyai anggota yang banyak dan anggotanya memiliki keteraturan, untuk menuliskanya dapat diwakili dengan tiga titik “...”.

            Contoh 3

Nyatakan himpunan berikut dengan Cara Pendaftaran. 

A= himpunan bilangan asli

B = himpunan bilangan ganjil kurang dari 30.

C = himpunan bilangan bulat

D = himpunan bilangan prima kurang dari 10. 

E = himpunan hari dalam sepekan

Jawab:

A = {1, 2, 3,...}

B = {1,3,5,..., 29}

C = {..., -3, -2, -1, 0,1, 2,...}

D = {2, 3, 5, 7}

E = {Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu, Minggu}

Keterangan:

1)                Himpunan A, B, dan C adalah himpunan yang anggotanya banyak, dan

penulisanya dua kali tiga titik “…”.

2)                Himpunan D dan E anggotanya dapat ditulis semua karena anggotanya sedikit.