Integral

A.       Pengertian Integral

Integral adalah bentuk operasi matematika yang menjadi invers (kebalikan) dari sebuah operasi turunan dan limit dari jumlah atau suatu luas daerah tertentu.

Berdasarkan pengertian diatas, ada dua hal yang dilakukan dalam integral sehingga dikategorikan menjadi 2 jenis integral. Yakni:

Yang pertama yaitu: Integral sebagai invers atau kebalikan dari turunan yang disebut sebagai Integral Tak Tentu. Yang kedua yaitu: Integral sebagai limit dari jumlah atau suatu luas daerah tertentu yang disebut Integral Tentu.

   B.       Integral Tak Tentu

Integral tak tentu yang seperti sebelumnya dijelaskan adalah merupakan sebuah invers atau kebalikan dari turunan. Yang mana, apabila sebuah turunan dari suatu fungsi, jika diintegralkan akan menghasilkan sebuah fungsi itu sendiri. Contoh perhatikanlah turunan-turunan dalam fungsi aljabar dibawah berikut ini:

1.   Turunan dari fungsi aljabar yakni: y = x⁵ ialah y^I = 5x⁴

2.   Turunan dari fungsi aljabar yakni: y = x⁵ - 4 ialah y^I = 5x⁴

3.   Turunan dari fungsi aljabar yakni: y = x⁵ + 1 ialah y^I = 5x⁴

4.   Turunan dari fungsi aljabar yakni: y = x⁵ – 2 ialah y^I = 5x⁴

Didalam sebuah materi turunan, variabel dalam suatu fungsi akan mengalami penurunan pangkat.

Berdasarkan contoh diatas, kita ketahui bahwa ada banyak fungsi yang memiliki hasil turunan yang sama yaitu y^I = 5x⁴. Fungsi dari variabel x³ ataupun fungsi dari variabel x³ yang ditambah atau dikurang suatu bilangan (misal contohnya : -4, +1, atau -2) mempunyai turunan yang sama.

Apabila  turunan tersebut dintegralkan, maka seharusnya ialah menjadi fungsi-fungsi awal sebelum diturunkan. Namun, dalam kasus tidak diketahui fungsi awal dari suatu turunan, maka hasil integral dari turunan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut:

f(x)= y = x⁵ + C

Dengan nilai C bisa berapapun jumlahnya. Notasi C ini biasa disebut sebagai konstanta integral.

Integral tak tentu ini dari suatu fungsi dinotasikan sebagai berikut:

Secara umum integral dari fungsi f(x) ialah penjumlahan F(x) dengan C atau ditulis:

Oleh karena integral dan turunan saling berkaitan, maka rumus integral dapat diperoleh dari rumusan penurunan tersebut.

   C. Integral Tentu

Landasan dasar mengenai integral tentu pertama kali diperkenalkan oleh seorang ilmuan terkenal yaitu Newton dan Leibinz yang kemudian diperkenalkan lebih lanjut secara modern oleh Riemann.

Pengertian Integral ini memiliki batas atas dan batas bawah. Didalam aplikasinya, integral tentu banyak digunakan untuk menghitung luas di bawah kurva dengan batas-batas tertentu atau menghitung volume benda jika diputar. berikut beberapa sifat- sifatnya 

 Dan berikut rumus- rumus dasar integral

Contoh:

1. Tentukan nilai dari ʃ (4x+3)7 dx

Jadi nilai dari ʃ (4x+3)7 dx adalah 1/32  (4x+3)8 + C

2. Tentukan nilai dari ʃ 2 x dx dan ʃ (3x+2x) dx

Persamaan Kuadrat

A.    Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Definisi

Bentuk umum persamaan kuadrat dalam variabel x dapat dinyatakan dengan

a  + bx + c = 0

dengan a ≠ 0 dan a, b, dan c  R. A disebut koefisien , b koefisien x dan c disebut konstanta.

Contoh:

B.     Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai berikut yaitu:

a.       Memfaktorkan

b.      Melengkapkan bentuk kuadrat, dan

c.       Menggunakan rumus abc (rumus kuadrat)

Berikut penjelasan dari beberapa cara diatas:

a.Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan

b. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara melengkapi kuadrat

c. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara rumus abc

        

Contoh : Dengan menggunakan rumus ABC, tentukanlah akar-akar dari persamaan      x² +   8x + 12 = 0

Cara Cepat Berhitung

       Berikut beberapa contoh cara cepat berhitung:

      1. Pengkuadratan Angka Berakhiran Lima
       
       langkah-langkahnya :
       a) Kalikan angka sebelum angka lima dengan angka urutan selanjutnya.
       b) Tuliskan angka 25 di belakang angka hasil dari a)
       contoh :
       i. 65² = ?
       a) 6 x 7 = 42
       b) hasil : 4225
       ii. 105² = ?
       a) 10 x 11 = 110
       b) hasil : 11025

2. Pengkuadratan Dua Angka Bilangan yang dimulai dengan Lima


langkah-langkahnya :
a) Tambahkan bilangan 25 dengan bilangan satuannya.
b) Kuadratkan bilangan satuannya.
(khusus untuk angka satuan 1, 2, dan 3, hasil kuadratnya dituliskan 01, 04, dan
09)
c) Hasil akhir adalah gabungan a) dan b)
contoh :
i. 51² = ?
a) 25 + 1 = 26
b) 1² = 01
c) hasil : 2601
ii. 59² = ?
a) 25 + 9 = 34
b) 9² = 81
c) hasil : 3481

3. Pengkuadratan Dua Angka Bilangan yang diakhiri angka Satu


langkah-langkahnya :
a) Kuadratkan angka bulatnya.
b) Jumlahkan angka tersebut dengan angka bulatnya.
c) Hasil akhirnya adalah jumlah dari a) dan b)
contoh :
i. 61² = ?
a) 60² = 3600
b) 61 + 60 = 121
c) hasil : 3600 + 121 =3721
ii. 21² = ?
a) 20² = 400
b) 21 + 20 = 41
c) hasil : 400 + 41 = 441

4. Perkalian Satu Angka dengan 11 (11; 110; 1,1 dan seterusnya


langkah-langkahnya :
a) Tuliskan angkanya.
b) Sisipkan angka dari jumlah dua angka tersebut. Hati-hati bila hasil penjumlahannya lebih dari 9, angka puluhannya dijumlahkan dengan angka pertama.
contoh :
i. 24 x 11 = ?
a) 2 ? 4
b) 2 + 4 = 6 –>> Hasilnya : 264
ii. 67 x 11 = ?
a) 6 ? 7
b) 6 + 7 = 13 –>> 6 + 1 = 7 –>> Hasilnya : 737

5. Perkalian Satu Angka atau Dua Angka dengan 99 (0,99; 9,9; 990 dst.)


langkah-langkahnya :
a) Kurangi bilangan tersebut dengan angka 1.
b) Kurangi bilangan 100 dengan bilangan tersebut.
c) Hasil akhirnya adalah gabungan dari a) dan b)
contoh :
15 x 99 = ?
a) 15 – 1 = 14
b) 100 – 15 = 85
c) hasilnya : 1485

6. Perkalian Bilangan Genap dengan 1,5; 2,5; 3,5 dst.


langkah-langkahnya :
a) Kalikan bilangan pengali dengan 2.
b) Bilangan yang dikalikan dibagi dengan angka 2.
c) Hasil akhirnya adalah perkalian a) dan b)
contoh :
16 x 4,5 = ?
a) 4,5 x 2 = 9
b) 16 : 2 = 8
c) hasilnya : 9 x 8 = 72

7. Perkalian Satu atau Dua Angka dengan 101 (1,01; 10,1 dst)


langkah-langkahnya :
a) Tuliskan angkanya dua kali.
b) Sisipkan nol atau koma.
contoh :
i. 27 x 101 = ?
a) 2727
ii. 4 x 101 = ?
a) 44
b) hasilnya : 404

8. Perkalian Dua Bilangan yang Nilainya Berselisih Dua


langkah-langkahnya :
a) Kuadratkan bilangan di antaranya.
b) Hasilnya : a) -1.
contoh :
i. 11 x 13 = ?
a) 12² = 144
b) Hasilnya : 144 – 1 = 143

9. Perkalian Dua Bilangan dengan Hubungan Khusus : Bilangan puluhannya bernilai sama dan jumlah bilangan satuannya adalah 10


langkah-langkahnya :
a) Kalikan bilangan puluhan dengan bilangan berikutnya.
b) Kalikan masing-masing bilangan satuannya.
c) Hasilnya adalah gabungan dari a) dan b).
contoh :
i. 16 x 14 = ?
a) 1 x 2 = 2
b) 6 x 4 = 24
c) Hasilnya : 224
ii. 28 x 22 = ?
a) 2 x 3 = 6
b) 8 x 2 = 16
c) Hasilnya : 616

Logika Matematika

Logika adalah suatu metode atau teknik yang digunakan untuk meneliti ketepatan penalaran. Ketepatan penalaran adalah kemampuan untuk menarik konklusi (kesimpulan) yang tepat dari bukti-bukti yang ada. Penalaran adalah suatu bentuk pemikiran. Secara umum logika dibedakan menjadi logika deduktif dan logika induktif.

Logika deduktif menelaah tentang bentuk atau pola dari prinsip-prinsip penarikan kesimpulan yang sah. Logika deduktif juga disebut logika formal, karena yang dibicarakan hanyalah bentuk dari penarikan kesimpulan yang sah terlepas dari isi yang dibicarakan.

Sedangkan logika induktif membahas tentang prinsip-prinsip penarikan kesimpulan yang sah yang bersifat umum berdasarkan hal-hal yang bersifat khusus. Logika induktif juga disebut logika material karena berusaha menemukan prinsip penalaran yang tergantung kesesuaiannya dengan kenyataan.

A.     PROPOSISI (PERNYATAAN)

Proposisi (penyataan) adalah kalimat yang mempunyai nilai benar (true) atau salah (false) tetapi tidak sekaligus benar dan salah, dan pernyataan itu disebut kalimat tertutup.

      Contoh 1

a.       7 adalah bilangan prima (benar)

b.      10 habis dibagi 4 (salah)

c.       Soekarno adalah Presiden Indonesia pertama

d.      8 + 2 = 10

e.       Kemarin hari hujan

f.       Suhu dipermukaan laut Kaspia adalah 21 derajar Celcius

g.      Kehidupan nyata ada di planet bumi

B.     KALIMAT TERBUKA

Kalimat terbuka adalah kalimat matematika yang tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya yang memuat variabel (peubah), dan tergantung pada nilai pengganti variabelnya.

           Contoh 2

1.   x – 7 = 3       

Jika x = 10 maka bernilai benar, sedangkan jika x ≠ 10, maka bernilai salah.

2. Dia adalah mahasiswa teladan

Kalimat terbuka dia mahasiswa teladan, dia diganti dengan Arnum menjadi pernyataan Arnum mahasiswa teladan. Jika dia diganti dengan batu maka menjadi batu mahasiswa teladan, dan itu bukan pernyataan.

C.      LAMBANG (OPERATOR) PROPOSIONAL

Dalam logika matematika, ada beberapa lambang-lambang (operator) proposisional yang digunakan didalam pengoperasiannya. Adapun lambang- lambang tersebut adalah:

No. Urut	Operator		Arti dalam Bahasa Sehari-hari
	Nama	Lambang
1.	Negasi	Ø	Tidak, bukan
2.	Konjungsi	Ù	Dan
3.	Disjungi	Ú	Atau
4.	Implikasi	®	Jika … maka …
5.	Biimplikasi	«	Jika dan hanya jika … maka …

C.  NILAI DAN TABEL KEBENARAN

                     1.   Negasi

Suatu pernyataan adalah pernyataan Øp  yang  bernilai  benar  jika bernilai salah dan bernilai salah jika bernilai benar. Nilai kebenaran konjungsi disajikan dengan tabel kebenaran dibawah ini.

2.  Konjungsi

Merupakan pernyataan majemuk dengan kata penghubung “dan”. Dua pernyataan p dan q yang dinyatakan dalam bentuk p ^ q  isebut konjungsi dan dibaca dan . Nilai kebenaran konjungsi disajikan dengan tabel kebenaran dibawah ini.

  3.   Disjungsi

Merupakan pernyataan majemuk dengan kata penghubung “atau”. Dua pernyataan p dan q disebut  disjungsi  dan dibaca atau .

Nilai kebenaran disjungsi disajikan dengan tabel kebenaran dibawah ini.

   4.   Implikasi

Dua pernyataan  dan  yang  dinyatakan  dalam  bentuk  kalimat  “jika maka ” disebut implikasi / kondisional / pernyataan bersyarat.

Nilai kebenaran implikasi disajikan dengan tabel kebenaran dibawah ini.

     5.   Biimplikasi

Biimplikasi adalah pernyataan p dan q , yaitu p q bernilai benar jika p dan q

mempunyai nilai kebenaran yang sama.

Nilai kebenaran biimplikasi disajikan dengan tabel kebenaran dibawah ini.