Rumus Ajaib Perkalian 11

1. Perkalian angka 11 dengan 1 angka

Setiap angka tunggal yang dikalikan dengan angka 11 akan menghasilkan angka kembar dari angka tunggal tadi.

2. Perkalian angka 11 dengan 2 angka

Jika ada 2 angka yang dikalikan 11, maka kita hanya perlu menempatkan angka terakhir sebagai satuan, lalu jumlahkan kedua angka tersebut sebagai puluhan dan angka pertama sebagai ratusan.

3. Perkalian angka 11 dengan 3, 4 hingga 5 angka

Jika ada 3, 4 hingga 5 angka yang dikalikan 11, maka kita hanya perlu menempatkan angka terakhir sebagai satuan, lalu jumlahkan angka dari bekalang dengan angka setelahnya setelahnya secara berpasangan dan hasilnya puluhan, ratusan maupun ribuan dan angka pertama sebagai puluhan ribu (jika angka 11 dikalikan 5 angka)

Ternyata mudah yaaa temen-temen...

semoga bermanfaat yaaaa

Selamat mencoba

Software Pembelajaran Matematika

A. Cabri 3D

Cabri 3D merupakan software geometri interaktif. Software ini merupakan pengembangan dari software geometri Cabri II. Software ini di produksi di Prancis oleh Jean Marie Laborde dan Max Marcadet pada tahun 2004. Cabri 3D mampu menyajikan objek geometri yang sangat baik dan dapat dilihat dari berbagai sudut pandang serta mampu menentukan hubungan antara objek-objek tersebut.

Cabri 3D tidak hanya digunakan sebagai software yang mempresentasikan matematika secara geometri tetapi juga dapat digunakan secara umum membangun kemudahan bermatematika dengan memunculkan bentuk- bentuk yang menyerupai keaslian dari berbagai model. Software ini memberikan kemudahan bagi siswa dan guru untuk mengeksplorasi berbagai bentuk dan model geometri. Siswa bisa lebih aktif dalam pembelajaran dengan melakukan eksplorasi di bawah bimbingan guru. Software ini juga memberikan kemudahan kepada siswa untuk lebih mampu membuktikan teori dan konsep secara mandiri dengan menggunakan sedikit perhitungan dan manipulasi sederhana.

B. Matlab

MATLAB (Matrix Laboratory) adalah suatu program untuk analisis dan komputasi numeric dan merupakan suatu bahasa pemograman matematika lanjutan yang dibentuk dengan dasar pemikiran dengan menggunakan sifat dan bentuk matriks. Pada awalnya, program ini merupakan interface untuk koleksi rutin- rutin numerik dari proyek LINPACK dan EISPACK, dan dikembangkan menggunakan bahasa FORTRAN namun sekarang merupakan produk komersial dari perusahaan Mathworks,Inc.yang dalam perkembangan selanjutnya dikembangkan menggunakan bahasa C++ dan assembler   (utamanya untuk fungsi- fungsi dasar MATLAB)

MATLAB juga berisi toolbox yang berisi fungsi-fungsi tambahan untuk aplikasi khusus. MATLAB yang merupakan bahasa pemograman tingkat tinggi berbasis pada matriks sering digunakan untuk teknik komputasi numerik, untuk menyelesaikan masalah- masalah yang melibatkan operasi matematika elemen, matriks, optimasi, aproksimasi dan lain- lain. Sehingga MATLAB banyak digunakan pada : (1) Matematika dan Komputasi, (2) Pengembangan dan Alogaritma, (3) Pemograman Modeling, simulasi, dan pembuatan prototype, (4) Analisis Data, eksplorasi dan visualisasi, (5) Analisis numerik dan statistik, dan (6) Pengembangan aplikasi teknik. 

C. Microsoft Mathematic

Microsoft Math merupakan software yang dibuat untuk sistem operasi Microsoft windows. Microsoft Math disediakan gratis oleh Microsoft Corporation. Microsoft Math dirancang seperti kalkulator namun memiliki fitur lebih lengkap dan memiliki kemampuan menjabarkan langkah demi langkah penyelesaian (Ekawati, 2016:151).

Microsoft Math dapat digunakan untuk siswa sebagai media pembelajaran untuk memahami matematika. Fitur dari Microsoft Math adalah :

1. Panduan dalam menyelesaikan perhitungan secara langkah demi langkah yang dan interaktif.
2. Graphing calculator dapat mengatur tampilan datanya dalam 2 dimensi maupun 3 dimensi yang berwarna.
3. Dilengkapi dengan database rumus penting hingga lebih dari 100 rumus yang sering digunakan dalam perhitungan.
4. Mempunyai banyak metode penyelesaian yang membantu menyelesaikan perhitungan cepat.
5. Memiliki unit Conversion Tool yang lengkap meliputi panjang, luas, volume, berat, temperatur, tekanan, energy, daya, kecepatan, waktu, dan masih banyak lagi.

  D. Maple 

    Program mamanfaatnya sangat banyak dirasakan oleh para user. 

Ada beberapa manfaat dari program Maple dalam matematika 
yaitu sebagai berikut.

1. Dapat mengerjakan komputasi bilangan secara exact
2. Dapat mengerjakan komputasi numerik yang sangat besar.
3. Dapat mengerjakan komputasi simbolik dengan baik.
4. Mempunyai perintah-perintah bawaan dalam library dan untuk menyelesaikan permasalahan dalam bentuk matematika.
5. Mempunyai fasilitas pengeplotan dan animasi untuk grafik baik dimensi dua maupun dimensi tiga.
6. Mempunyai antarmuka berbasis worksheet.
7. Mempunyai fasilitas untuk membuat dokumen dalam berbagai format.
8. Mempunyai fasilitas bahasa pemrograman yang dapat menuliskan fungsi, paket dan sebagainya.
9. Maple mempunyai fungsi-fungsi matematika yang standart, seperti:

•     Fungsi-fungsi trigonometri [sin (x), cos (x) , tan (x)]
•     Fungsi-fungsi trigonometri hiperbolik [sinh (x), cosh (x), tanh(x)]
•    Invers fungsi-fungsi trigonometri [arcsin (x), arcos (x), arctan(x)]
•     Fungsi eksponensial (exp)
•     Fungsi logaritma natural (ln)
•     Fungsi logaritma basis 10 (log[10])
•     Fungsi akar pangkat dua (sqrt)
•     Pembulatan kebilangan bulat terdekat (round)
•     Bagian pecah (frac)

E. Geogebra

Geogebra singkatan dari Geometry dan Algebra. Program aplikasi ini diciptakan oleh Markus Hohenwarter.  Alamat resmi gerogebra adalah geogebra.org. Geogebra merupakan produk non-profit dan berlisensi publik. Artinya geogebra bukan merupakan aplikasi yang ditujukan untuk penjualan atau pembelian dalam rangka mencari keuntungan. Dengan ini kita bisa mendapatkan aplikasi Geogebra secara gratis dan kita boleh menyebar luaskan kepada setiap orang.

Geogebra merupakan program aplikasi ICT yang ditujukan untuk membantu pembelajaran Matematika dalam bidang Geometri, Satistika, Kalkulus, dan Aljabar. Kita dapat meghubungkan titik, garis, segmen, vektor dengan bentuk yang lebih dinamis.

Karena Geogebra memiliki cakupan bidang Geometri, Satistika, Kalkulus, dan Aljabar, maka fungsi dari Geogebra juga dapat dikelompokkan menjadi 4 bagian. Banyak manfaat yang bisa kita dapatkan dari geogebra ini, diantaranya yaitu memudahkan kita dalam menggambar grafik, membantu perhitungan dalam geometri seperti mencari titik potong garis dan menentukan panjang garis, dalam bidang kalkulus kita juga bisa menggunakan geogebra ini untuk mencari turunan suatu fungsi, menghitung luas dibawah kurva, dan lain-lain. Namun di sini akan lebih banyak di bahas tentang fungsi Geogebra dalam pembelajaran Aljabar pada materi Fungsi Polynomial.

Dalam pembelajaran fungsi selalu berkaitan dengan grafik. Oleh karena di samping mempelajari fungsi itu sendiri, tentu selalu di ikuti degan cara-cara melukis grafik fungsi tersebut. Biasanya guru meminta para peserta didik untuk melukis grafik fungsi seacara manual. Yaitu dengan cara mencari titik koordinat yang dibutuhkan untuk membantu melukis garfik fungsi tersebut.

Perkembangan Matematika

Perkembangan Matematika dapat dilihat dari dua pandangan yaitu:

A. Secara Geografis:

1. Mesopotamia

• Menentukan system bilangan pertama kali
• Menemukan system berat dan ukur
• Tahun 2500 SM system desimal tidak lagi digunakan dan lidi diganti oleh notasi berbentuk baji

2. Babilonia

• Menggunakan sitem desimal dan π=3,125
• Penemu kalkulator pertama kali
• Mengenal geometri sebagai basis perhitungan astronomi
• Menggunakan pendekatan untuk akar kuadrat
• Geometrinya bersifat aljabaris
• Aritmatika tumbuh dan berkembang baik menjadi aljabar retoris yang berkembang
• Sudah mengenal teorema Pythagoras

3. Mesir Kuno

• Sudah mengenal rumus untuk menghitung luas dan isi
• Mengenal system bilangan dan symbol pada tahun 3100 SM
• Mengenal tripel Pythagoras
• Sitem angka bercorak aditif dan aritmatika
• Tahun 300 SM menggunakan system bilangan berbasis 10

4. Yunani Kuno

• Pythagoras membuktikan teorema Pythagoras secara matematis (terbaik)
• Pencetus awal konsep nol adalah Al Khwarizmi
• Archimedes mencetuskan nama parabola, yang artinya bagian sudut kanan kerucut
• Hipassus penemu bilangan irrasional
• Diophantus penemu aritmatika (pembahasan teori-teori bilangan yang isinya merupakan pengembangan aljabar yang dilakukan dengan membuat sebuah persamaan)
• Archimedes membuat geometri bidang datar
• Mengenal bilangan prima

5. India

• Brahmagyupta lahir pada 598-660 Ad
• Aryabtha (4018 SM) menemukan hubungan keliling sebuah lingkaran
• Memperkenalkan pemakaian nol dan desimal
• Brahmagyupta menemukan bilangan negatif
• Rumus a2+b2+c2 telah ada pada “Sulbasutra”
• Geometrinya sudah mengenal tripel Phytagoras, teorema Phytagoras, trasformasi dan segitiga pascal.

6. China

• Mengenal sifat-sifat segitiga siku-siku tahun 3000 SM
• Mengembangkan angka negatif, bilangan desimal, system desimal, system biner, aljabar, geometri, trigonometri dan kalkulus
• Telah menemukan metode untuk memecahkan beberapa jenis persamaan yaitu persamaan kuadrat, kubikdan qualitik
• Aljabarnya menggunakan system horner untuk menyelesaikan persamaan Kuadrat.

B. Berdasarkan Tokoh

1. Thales (624-550 SM)

Dapat disebut matematikawan pertama yang merumuskan teorema atau proposisi, dimana tradisi ini menjadi lebih jelas setelah dijabarkan oleh Euclid. Landasan matematika sebagai ilmu terapan rupanya sudah diletakan oleh Thales sebelum muncul Pythagoras yang membuat bilangan.

2. Pythagoras (582-496 SM)

Pythagoras adalah orang yang pertama kali mencetuskan aksioma-aksioma, postulat-postulat yang perlu dijabarkan ter lebih dahulu dalam mengembangkan geometri. Pythagoras bukan orang yang menemukan suatu teorema Pythagoras namun dia berhasil membuat pembuktian matematis. 

3. Socrates (427-347 SM)

Ia merupakan seorang filosofi besar dari Yunani. Dia juga menjadi pencipta ajaran serba cita, karena itu filosofinya dinamakan idealisme. Ajarannya lahir karena pergaulannya dengan kaum sofis. Plato merupakan ahli piker pertama yang menerima paham adanya alam bukan benda.

4. Ecluides (325-265 SM)

Euklides disebut sebagai “Bapak Geometri” karena menemuka teori bilangan dan geometri. Subyek-subyek yang dibahas adalah bentuk-bentuk, teorema Pythagoras,persamaan dalam aljabar, lingkaran, tangen,geometri ruang, teori proporsi dan lain-lain. Alat-alat temuan Eukluides antara lain mistar dan jangka.

5. Archimedes (287-212 SM)

Dia mengaplikasikan prinsip fisika dan matematika. Dan juga menemukan perhitungan π (pi) dalam menghitung luas lingkaran. Ia adalah ahli matematika terbesar sepanjang zaman dan di zaman kuno. Tiga kaaarya Archimedes membahas geometri bidang datar, yaitu pengukuran lingkaran, kuadratur dari parabola dan spiral.

6. Appolonius (262-190 SM)

Konsepnya mengenai parabola, hiperbola, dan elips banyak memberi sumbangan bagi astronomi modern. Ia merupakan seorang matematikawan tang ahli dalam geometri. Teorema Appolonius menghubungkan beberapa unsur dalam segitiga.

7. Diophantus (250-200 SM)

Ia merupakan “Bapak Aljabar” bagi Babilonia yang mengembangkan konsep-konsep aljabar Babilonia. Seorang matematikawan Yunani yang bermukim di Iskandaria. Karya besar Diophantus berupa buku aritmatika, buku karangan pertama tentang system aljabar. Bagian yang terpelihara dari aritmatika Diophantus berisi pemecahan kira-kira 130 soal yang menghasilkan persamaan-persamaan tingkat pertama.

Asal mula Matematika

Kata metematika berasal dari bahasa Yunani Kuno yaitu, mathema yang berarti “pengkajian, pembelajaran, ilmu”. Dalam hal ini arti dari matematika sendiri bisa di sempitkan menjadi “Pengkajian Matematika atau Ilmu Pembelajaran Matematika”. Kata sifatnya adalah Mathematikos yang berarti berkaitan dengan Pengkajian atau bisa di sebut dengan tekun belajar.

Matematika mulai muncul dan berkembang pertama kali di Mesopotamia, Mesir Kuno, dan Yunani Kuno. Manusia prasejarah telah berhasil mengetahui bagaimana caranya mencacah objek-objek fisik dan mereka juga mengenali bagaimana cara mencacah besaran abstrak, seperti waktu (Hari, Musim, dan Tahun). Manusia pada zaman prasejarah menggunakan hakikat alam untuk mengindentifikasi atau mengetahui ruang dan waktu sehingga terbentuklah ide dan konsep mengenai waktu itu sendiri.

Benda Matematika tertua yang sudah diketahui adalah tulang Lebombo, tulang ini berisi 29 torehan yang berbeda yang sengaja digoreskan pada tulang Fibula Baboon, namun dalam hal ini  tulisan yang terdapat pada tulang Fibula Baboon hanya digunakan untuk menghitung ataupun mengingat siklus haid kaum perempuan. Di Afrika dan Prancis juga ditemukan artefak prasejarah yang diperkirakan berumur 20.000 tahun atau sekitar 35.000 SM. Dengan adanya penemuan ini, ilmu matematika mulai digunakan jauh sebelum mesir kuna menggunakannya.

Ilmu matematika oleh orang Babilonia dituliskan pada sebuah tablet tanah untuk mengetahui atau menangani latihan geometri, masalah pembagian serta mencakup topik mengenai pecahan, aljabar, persamaan kuadrat dan perhitungan pasangan berbalik nilai yang masa ini dikenal dengan system basis 60.

Penggunaan terkuno matematika yang lain adalah dalam perdagangan, pengukuran tanah, pelukisan dan pola-pola penemuan berkembang luas sejak tahun 3000 SM ketika orang Babilonia dan Mesir Kuno mulai menggunakan aritmatika, aljabar dan geometri untuk menghitung pajak dan masalah keuangan lainnya, bangunan dan konstruksi serta astronomi. Matematika Babilonia dan Matematika Mesir Kuno hidup pada zaman archaic hingga Tradisional sedangkan matematika Yunani Kuno hidup pada zaman Tradisional hingga Feodal.

Dari sini bisa ditarik kesimpulan bahwa Ilmu matematika adalah ilmu yang terus berkembang seiring kehidupan berjalan, masalah-masalah yang bermunculan dan usaha memecehkannya.

Plimpton 332 (Matematika Babilonia 1900 SM), Lembaran Matematika Rhind (Matematika Mesir Sekitar 2000-1800 SM) dan Lembaran Matematika Moskwa (Matematika Mesir Sekitar 1890 SM), semua penemuan ini membahas mengenai teorema yang umum dikenal sebagai teorema Pythagoras dan sebagai pengembangan dari matematika tertua yang berkembang luas setelah aritmatika dasar dan geometri.

Jarimatika

      Jarimatika adalah metode Aritmatika menggunakan jari - jari tangan untuk menghitung penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian yang diperkenalkan pertama kali oleh Ibu Septi Peni Wulandani dari Yayasan Jarimarika Salatiga dan telah banyak digunakan peserta didik diberbagai sekolah. Keunggulan dari metode JariMatika ini kita bisa menghitung lebih cepat tanpa menggunakan mesin hitung yang bisa digunakan setiap waktu dan tempa. Tanpaperlu repot-repot membawa alat, tidak ketinggalan jaman, tidak perlu membeli alat.

     

      Dengan belajar JariMatika kemampuan berpikir kita akan terasah agar lebih aktif untuk berpikir cepat, selain itu belajar jarimatika akan memberikan semangat untuk belajar Matematika karena belajar Matematika ternyata mudah.

Formasi Jarimatika Dalam Konsep Penambahan 

Coba kamu perhatikan gambar di bawah ini semua formasi jari tanganmu bisa melambangkan angka 1 sampai 9. lho, kenapa kok tidak sampai 10? Jawabanya karena angka 10 gabungan dari angka 1 dan 0 sehingga angka inti adalah 1 sampai 9. Hafalkan ya?...

Dalam pelajaran jarimatika semua jari berfungsi untuk menghasilan penjumlahan. Agar memudahkan pemahaman fungsi jari dibagi 2 yaitu, jari-jari tangan kanan melambangkan nilai kurang dari 10 (1-9) sedangkan jari-jari tangan kiri melambangkan nilai lebih dari 10. 

Selanjutnya kita coba membuat nilai bilangan lebih dari 10 dengan formasi jari-jari. 

Ingat-ingat ya?... 

Kalau ibu jari ditutup atau tekuk nilainya kurang dari lima, tapi kalau dibuka nilainya lebih dari 5, demikian juga untuk melambangkan nilai puluhan. 

Membuat Lambang Bilangan Lebih Dari 10

Satu hal yang harus kamu ingat bahwa jari tangan kanan melambangkan nilai kurang dari 10 (1-9) dan jari tangan kiri melambangkan nilai lebih dari 10.

Karena ingin membuat bilangan lebih dari 10 yang pertama kali digunakan adalah tangan kiri yang melambangkan nilai puluhan dan tangan kanan yang memiliki nilai satuan. Perhatikan contoh di bawah ini.

Formasi Jari Dalam Konsep Penambahan 

Metode penjumlahan dalam JariMatika dibagi 2 yaitu penjumlahan pasti dan teori, penjumlahan pasti adalah penjumlahan dengan hasil kurang dari 4 menggunakan 1 tangan dan mudah diketahui hasilnya dengan pasti, sedangkan penjumlahan teori mencari hasil penjumlahan lebih dari 4 karena jumlah jari yang digunakan terbatas sehingga membutuhkan teori yang harus dihafal, perhatikan contoh di bawah ini: 

Jangan lupa dicoba yaaa temen-temen !!!

Semoga Bermanfaat.......

Jenis-Jenis Matriks

     Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun secara baris atau kolom atau kedua-duanya dan di dalam suatu tanda kurung. Bilangan-bilangan yang membentuk suatu matriks disebut sebagai elemen-elemen matriks. 

Matriks digunakan untuk menyederhanakan penyampaian data, sehingga mudah untuk diolah.

     Matriks adalah bilangan-bilangan yang disusun dalam baris dan kolom. Anggota bilangan-bilangan yang berada dalam susunan mendatar disebut baris. Sedangkan susunan-susunan bilangan yang menurun disebut kolom. Ukuran matriks dinyatakan dalam ordo matriks yang dinyatakan dalam baris dikali kolom. 

Cara menyatakan ukuran matriks atau yang biasa disebut ordo matriks sangat perlu diperhatikan. Tidak sedikit siswa yang keliru dalam memahami ordo matriks. Kesalahan yang sering dilakukan oleh siswa biasanya sering terbalik dalam menyatakan ukuran matriks. Ukuran matriks  3 × 2 tentunya akan berbeda dengan ukuran matriks 2 × 3 . Bentuk umum matriks dapat dilihat pada gambar di bawah.

Jenis-jenis Matriks

Berikut ini adalah jenis-jenis matriks yang dibedakan berdasarkan pola elemennya dan jumlah baris dan kolom.

1. Matriks Identitas adalah matriks diagonal dengan elemen- elemen diagonal utamanya bernilai 1. Pada umumnya matriks identitas dinotasikan dengan “I”. Contoh:

2. Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang memiliki elemen- elemen pada diagonal utamanya bernilai sama. Contoh:

3. Matriks diagonal adalah matriks yang elemen-elemen di luar  diagonal utamanya nol. Contoh:

4. Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang elemen- elemen di bawah diagonal utamanya nol. Contoh:

5. Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang elemen-    elemen di atas diagonal utamanya nol. Contoh:

6. Matriks simetri adalah matriks persegi yang elemen-elemen di  atas diagonal utamanya sama dengan elemen-elemen di bawah diagonal utamanya. Contoh:

  

Trigonometri

     Trigonometri atau kalau dilihat dari bahasa Yunani yaitu trigonon adalah “tiga sudut” dan metron adalah “mengukur” ialah sebuah cabang ilmu matematika yang mempelajari hubungan yang meliputi panjang dan sudut segitiga. Dimana trigonometri ini muncul pada abad ke-3 SM (Sebelum Masehi) di masa hellenistik guna mempelajari tentang astronomi.

     Trigonometri adalah ilmu matematika yang mempelajari tentang sudut, sisi, dan perbandingan antara sudut terhadap sisi. Dasarnya menggunakan bangun datar segitiga. Hal ini karena arti dari kata trigonometri sendiri yang dalam bahasa Yunani yang berarti ukuran-ukuran dalam sudut tiga atau segitiga.

A. Perbandingan Trigonometri Pada Segitiga

Sisi AB merupakan sisi miring segitiga
Sisi BC merupakan sisi depan sudut "alfa"
Sisi AC merupakan sisi samping sudut "alfa"

Di sini kita akan mengenal istilah matematika baru, yaitu sinus (sin), cosinus (cos), tangent (tan), cosecan (csc), secan (sec) dan cotangent (cot), yang mana sinus merupakan kebalikan dari cosecan, cosinus kebalikan dari secan dan tangent kebalikan dari cotangent.

Sinus, Cosinus dan Tangent digunakan untuk menghitung sudut dengan perbandingan trigonometri sisi di segitiga. Dengan gambar segitiga diatas, nilai Sinus, Cosinus dan Tangent diperoleh dengan cara sebagai berikut:

B. Sudut Istimewa

Berikut ini nilai sin, cos, dan tan untuk sudut istimewa:

C. Kuadran

Sudut dalam suatu lingkaran, memiliki rentang 0° – 360°, sudut tersebut dibagi menjadi 4 kuadran, dengan masing-masing kuadran memiliki rentang sebesar 90°.

• Kuadran 1 memiliki rentang sudut dari 0° – 90° dengan nilai sinus, cosinus dan tangent positif.
• Kuadran 2 memiliki rentang sudut dari 90° – 180° dengan nilai cosinus dan tangen negatif, sinus positif.
• Kuadran 3 memiliki rentang sudut dari 180° – 270° dengan nilai sinus dan cosinus negatif, tangen positif.
• Kuadran 4 memiliki rentang sudut dari 270° – 360° dengan nilai sinus dan tangent negatif, cosinus positif.

Perhatikan tabel trigonometri di bawah ini:

D. Identitas Trigonometri

     

Contoh Soal: